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Question

(C) एक फलन $f(x)$, $x=0$ पर संतत है यदि $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ हो।$(A)$ $\lim_{x 	o 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = e^{\lim_{x 	o 0} \frac{2}{x} \cdo

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$f(x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}$ जहाँ $x 
eq 0$, $f(0) = -1$

Vedclass · Answer

(C) एक फलन $f(x)$, $x=0$ पर संतत है यदि $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ हो।$(A)$ $\lim_{x 	o 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = e^{\lim_{x 	o 0} \frac{2}{x} \cdot x} = e^2 = f(0)$। संतत है।$(B)$ $\lim_{x 	o 0} (\sin x - \cos x) = 0 - 1 = -1 = f(0)$। संतत है।$(C)$ $x 	o 0^+$ के लिए, $\lim_{x 	o 0^+} \frac{e^{1/x}(1 - e^{-1/x})}{e^{1/x}(1 + e^{-1/x})} = 1$। $x 	o 0^-$ के लिए, $\lim_{x 	o 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$। चूँकि $	ext{LHL} 
eq 	ext{RHL}$, सीमा का अस्तित्व नहीं है। असंतत है।$(D)$ $\lim_{x 	o 0} \frac{e^{5x} - e^{2x}}{\sin 3x} = \lim_{x 	o 0} \frac{\frac{e^{5x}-1}{x} - \frac{e^{2x}-1}{x}}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3} = \frac{5 - 2}{3} = 1 = f(0)$। संतत है।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर असंतत (discontinuous) है?

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यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{यदि } x \ge 2 \\ x + 1, & \text{यदि } x < 2 \end{cases}$ है, तो $\lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) =$

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{(8-2x)^{\frac{1}{3}} - 2}{3 - (243+5x)^{\frac{1}{5}}}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है, तो $k =$ है

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} 5, & \text{यदि } x \le 2 \\ ax + b, & \text{यदि } 2 < x < 10 \\ 21, & \text{यदि } x \ge 10 \end{cases}$ एक सतत फलन है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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