यदि $f(x) = \frac{x - e^x + \cos 2x}{x^2}$ जहाँ $x \neq 0$,$x = 0$ पर सतत है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है? (नोट: $[x]$ और $\{x\}$ क्रमशः महत्तम पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाते हैं।)

मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ और $g(x) = x f(x)$ द्वारा परिभाषित हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: $(i)$ $f(x)$, $x = 0$ पर सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। $(ii)$ $g(x)$, $x = 0$ पर अवकलनीय है, लेकिन $g'(x)$, $x = 0$ पर सतत नहीं है। तो, निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 1 - x, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$. तो $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ क्या है?

यदि $f(x) = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}$,$x = 0$ पर सतत है,तो $f(0) = $

यदि एक वास्तविक मान वाला फलन $f(x) = \begin{cases} \log(1+[x]), & x \geq 0 \\ \sin^{-1}[x], & -1 \leq x < 0 \\ k([x]+|x|), & x < -1 \end{cases}$ बिंदु $x = -1$ पर सतत है,तो $k =$

यदि $f(x) = \begin{cases} (1 + 2x)^{1/x}, & x \ne 0 \\ e^2, & x = 0 \end{cases}$ है,तो: