मान लीजिए कि g(x), f(x) का प्रति-अवकलज (anti- | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $g(x)$, $f(x)$ का प्रति-अवकलज है, इसलिए $g^{\prime}(x) = f(x)$ है।हमें वह फलन $h(x)$ ज्ञात करना है जिसके लिए $\int h(x) \, dx = \lo

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2 f(x) g(x)}{1+(g(x))^2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $g(x)$, $f(x)$ का प्रति-अवकलज है, इसलिए $g^{\prime}(x) = f(x)$ है।हमें वह फलन $h(x)$ ज्ञात करना है जिसके लिए $\int h(x) \, dx = \log _e(1+(g(x))^2) + c$ हो।प्रति-अवकलज की परिभाषा के अनुसार, $h(x) = \frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2) + c]$ होगा।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2)] = \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot \frac{d}{dx} (1+(g(x))^2)$ होगा।$= \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot (2 g(x) \cdot g^{\prime}(x))$।चूंकि $g^{\prime}(x) = f(x)$, हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$h(x) = \frac{2 g(x) f(x)}{1+(g(x))^2}$।अतः, सही विकल्प $C$ है।

मान लीजिए कि $g(x)$, $f(x)$ का प्रति-अवकलज (anti-derivative) है। तो वह फलन जिसके लिए $\log _e(1+(g(x))^2)+c$ एक प्रति-अवकलज है, वह है:

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