मान लीजिए P(x) घात 3 का एक बहुपद है जिसका x=1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) मान लीजिए $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ होगा। चूंकि $P(x)$ का $x=1$ पर चरम मान है, इसलिए $P'(1) = 0$ होगा, जिसका

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ होगा। चूंकि $P(x)$ का $x=1$ पर चरम मान है, इसलिए $P'(1) = 0$ होगा, जिसका अर्थ है $3a + 2b + c = 0$ ... $(i)$। दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{P(x)+4}{x^2} + 2\right) = 6$, इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{P(x)+4}{x^2} = 4$ होगा। $P(x)$ का मान रखने पर, $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d + 4}{x^2} = 4$ प्राप्त होता है। सीमा (limit) के परिमित होने के लिए, $x^{-2}$ और $x^{-1}$ के गुणांक शून्य होने चाहिए। अतः, $d+4 = 0 \Rightarrow d = -4$ और $c = 0$ होगा। तब $\lim_{x \rightarrow 0} (ax + b) = 4 \Rightarrow b = 4$ होगा। समीकरण $(i)$ में $b=4$ और $c=0$ रखने पर, $3a + 2(4) + 0 = 0 \Rightarrow 3a = -8 \Rightarrow a = -\frac{8}{3}$ प्राप्त होता है। अतः, $P(x) = -\frac{8}{3}x^3 + 4x^2 - 4$ है। अवकलन $P'(x) = -8x^2 + 8x$ है। $x = \frac{1}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर, $P'(\frac{1}{2}) = -8(\frac{1}{4}) + 8(\frac{1}{2}) = -2 + 4 = 2$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $P(x)$ घात $3$ का एक बहुपद है जिसका $x=1$ पर चरम मान (extreme value) है। यदि $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{P(x)+4}{x^2}+2\right)=6$ है, तो $\left(\frac{d P}{d x}\right)_{x=\frac{1}{2}}=$

Similar Questions

$y = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20$ का न्यूनतम मान क्या है?

अंतराल $0 \leq x \leq 2\pi$ में $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$ का अधिकतम मान किस बिंदु पर है?

सभी वास्तविक $x$ के लिए,फलन $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ का न्यूनतम मान है

$f(x) = \log_{10}(4x^3 - 12x^2 + 11x - 3)$,$x \in [2, 3]$ का वैश्विक अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

$f(x) = \frac{1}{4x^2 + 2x + 1}$ का अधिकतम मान ..... है।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module