मान लीजिए z_{1} और z_{2} ऐसी सम्मिश्र संख्याए | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $w = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}$.यह जाँचने के लिए कि क्या $w$ शुद्ध काल्पनिक है, हम $w + \bar{w}$ का मूल्यांकन करते हैं।$w + \bar{w

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शुद्ध काल्पनिक

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(D) मान लीजिए $w = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}$.यह जाँचने के लिए कि क्या $w$ शुद्ध काल्पनिक है, हम $w + \bar{w}$ का मूल्यांकन करते हैं।$w + \bar{w} = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}} + \frac{\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}}{\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}}$$= \frac{(z_{1}+z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2})(z_{1}-z_{2})}{(z_{1}-z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2})}$$= \frac{(z_{1}\bar{z}_{1} - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - z_{2}\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}z_{1} - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - \bar{z}_{2}z_{2})}{|z_{1}-z_{2}|^2}$चूँकि $|z_{1}| = |z_{2}|$, हमारे पास $z_{1}\bar{z}_{1} = z_{2}\bar{z}_{2} = |z_{1}|^2 = |z_{2}|^2$ है।इसे प्रतिस्थापित करने पर, अंश शून्य हो जाता है:$|z_{1}|^2 - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - |z_{2}|^2 + |z_{1}|^2 - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - |z_{2}|^2$$= 2|z_{1}|^2 - 2|z_{2}|^2 = 0$.चूँकि $w + \bar{w} = 0$, इसलिए $w$ शुद्ध काल्पनिक है।

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