यदि {z^2} + z|z| + |z|^2 = 0 है,तो z का बिंदु | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: ${z^2} + z|z| + |z|^2 = 0$$|z|^2$ से विभाजित करने पर ($z 
eq 0$ मानते हुए):${\left( {\frac{z}{|z|}} ight)^2} + \frac{z}{|z|} +

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$C$. दो सीधी रेखाओं का युग्म

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(C) दिया गया समीकरण: ${z^2} + z|z| + |z|^2 = 0$$|z|^2$ से विभाजित करने पर ($z 
eq 0$ मानते हुए):${\left( {\frac{z}{|z|}} ight)^2} + \frac{z}{|z|} + 1 = 0$माना $u = \frac{z}{|z|}$ है। तब $u^2 + u + 1 = 0$ है।इसके मूल $u = \omega$ या $u = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ है।स्थिति $1$: $\frac{z}{|z|} = \omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$z = |z|\left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} ight)$$x + iy = -\frac{1}{2}|z| + i\frac{\sqrt{3}}{2}|z|$वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x = -\frac{1}{2}|z|$ और $y = \frac{\sqrt{3}}{2}|z|$ है।अतः,$y = -\sqrt{3}x$,या $y + \sqrt{3}x = 0$ है।स्थिति $2$: $\frac{z}{|z|} = \omega^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$$x + iy = -\frac{1}{2}|z| - i\frac{\sqrt{3}}{2}|z|$वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x = -\frac{1}{2}|z|$ और $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}|z|$ है।अतः,$y = \sqrt{3}x$,या $y - \sqrt{3}x = 0$ है।दोनों को मिलाने पर,बिंदुपथ दो सीधी रेखाओं का युग्म है: $(y + \sqrt{3}x)(y - \sqrt{3}x) = 0$,जो $y^2 - 3x^2 = 0$ में सरल हो जाता है।

यदि ${z^2} + z|z| + |z|^2 = 0$ है,तो $z$ का बिंदुपथ क्या है?

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