माना a_n, left[x+frac{sin(1/n)}{x^2}right]^{3 | vedclass

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Question

(A) $\left[x+\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right]^{3n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{3n}C_r (x)^{3n-r} \left(\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right)^r = {}^{

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(A) $\left[x+\frac{\sin(1/n)}{x^2}ight]^{3n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{3n}C_r (x)^{3n-r} \left(\frac{\sin(1/n)}{x^2}ight)^r = {}^{3n}C_r (x)^{3n-3r} (\sin(1/n))^r$ है। $x$ से स्वतंत्र पद के लिए, $x$ का घातांक शून्य होना चाहिए, इसलिए $3n - 3r = 0$, जिसका अर्थ है $r = n$। अतः, $a_n = {}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n$। हमें $\lim_{n 	o \infty} \frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n}$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि ${}^{3n}P_n = \frac{(3n)!}{(2n)!}$, इसलिए $\frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n} = \frac{{}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n \cdot n! \cdot (2n)!}{(3n)!} = (\sin(1/n))^n$। जब $n 	o \infty$, तब $\sin(1/n) \approx 1/n$। अतः, $\lim_{n 	o \infty} (\sin(1/n))^n = \lim_{n 	o \infty} (1/n)^n = 0$।

माना $a_n$, $\left[x+\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right]^{3n}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद को दर्शाता है। तो $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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