मान लीजिए int frac{x^{1/2}}{sqrt{1-x^3}} dx = | vedclass

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Question

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{x^{1/2}}{\sqrt{1-x^3}} dx$ दिया गया है। मान लीजिए $t = x^{3/2}$। तब $dt = \frac{3}{2} x^{1/2} dx$, जिसका अर्थ है कि $x

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$f(x) = x^{3/2}, g(x) = \sin^{-1} x$

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(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{x^{1/2}}{\sqrt{1-x^3}} dx$ दिया गया है। मान लीजिए $t = x^{3/2}$। तब $dt = \frac{3}{2} x^{1/2} dx$, जिसका अर्थ है कि $x^{1/2} dx = \frac{2}{3} dt$। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{2}{3} \sin^{-1}(t) + c$। $t = x^{3/2}$ वापस रखने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(x^{3/2}) + c$। इसे दिए गए रूप $\frac{2}{3} g(f(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर, हम $f(x) = x^{3/2}$ और $g(x) = \sin^{-1}(x)$ प्राप्त करते हैं।

मान लीजिए $\int \frac{x^{1/2}}{\sqrt{1-x^3}} dx = \frac{2}{3} g(f(x)) + c$; तो

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