मान लीजिए कि n एक निष्पक्ष पासा फेंकने पर प्र | vedclass

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Question

(D) समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D 
eq 0$ हो।$D = \begin{vmatrix} 1 & -n & 1 \ 1 & n-2 & n+1 \ 0 & n-

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$22$

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(D) समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D 
eq 0$ हो।$D = \begin{vmatrix} 1 & -n & 1 \ 1 & n-2 & n+1 \ 0 & n-1 & 1 \end{vmatrix}$प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:$D = 1((n-2)(1) - (n+1)(n-1)) - 1((-n)(1) - (1)(n-1)) + 0$$D = (n-2 - (n^2-1)) - (-n - n + 1)$$D = (n-2 - n^2 + 1) - (-2n + 1)$$D = -n^2 + 3n - 2$अद्वितीय हल के लिए, $D 
eq 0$, अतः $-n^2 + 3n - 2 
eq 0$, जिसका अर्थ है $n^2 - 3n + 2 
eq 0$.$(n-1)(n-2) 
eq 0$, इसलिए $n 
eq 1$ और $n 
eq 2$.चूंकि $n$ एक पासे का परिणाम है, $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.$n$ के वे मान जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है, वे $n \in \{3, 4, 5, 6\}$ हैं।ऐसे मानों की संख्या $4$ है, इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{6}$ है।अतः, $k = 4$.$k$ और $n$ के सभी संभावित मानों का योग $4 + (3 + 4 + 5 + 6) = 4 + 18 = 22$ है।

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मान लीजिए कि रैखिक समीकरण निकाय $x + 2y + z = 2$,$\alpha x + 3y - z = \alpha$,और $-\alpha x + y + 2z = -\alpha$ असंगत है। तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

रैखिक समीकरण निकाय $\lambda x + y + z = 3$, $x - y - 2z = 6$, और $-x + y + z = \mu$ के लिए:

यदि $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ है,तो $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरणों की प्रणाली $kx + 2y - z = 1$,$(k - 1)y - 2z = 2$,और $(k + 2)z = 3$ का एक अद्वितीय हल है,यदि $k$ का मान है:

$a$ के कितने विभिन्न मानों के लिए निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय के कम से कम दो भिन्न हल हैं?
$ax + y = 0$
$x + (a + 10)y = 0$

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