ધારો કે f એ બે વાર વિકલનીય અ-ઋણ વિધેય છે જેથી | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ સમીકરણ: $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$. લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $2 f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$1565$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ સમીકરણ: $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$. લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $2 f(x) f'(x) = (f(x))^2 + (f'(x))^2$. પદોને ગોઠવતા: $(f(x))^2 - 2 f(x) f'(x) + (f'(x))^2 = 0$. આનું સાદું રૂપ: $(f(x) - f'(x))^2 = 0$, જેનો અર્થ છે કે $f'(x) = f(x)$. આ વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \Rightarrow \ln(f(x)) = x + C \Rightarrow f(x) = A e^x$. $x = 0$ આગળ, $(f(0))^2 = 25 + 0 \Rightarrow f(0) = 5$ (કારણ કે $f$ અ-ઋણ છે). આમ, $A e^0 = 5 \Rightarrow A = 5$, તેથી $f(x) = 5 e^x$. આપણે $f(\ln 1), f(\ln 2), \ldots, f(\ln 625)$ નો મધ્યક શોધવાનો છે. $f(\ln n) = 5 e^{\ln n} = 5n$ હોવાથી, મધ્યક થશે: $	ext{મધ્યક} = \frac{1}{625} \sum_{n=1}^{625} 5n = \frac{5}{625} 	imes \frac{625 	imes 626}{2} = \frac{5 	imes 626}{2} = 5 	imes 313 = 1565$.

ધારો કે $f$ એ બે વાર વિકલનીય અ-ઋણ વિધેય છે જેથી $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$ થાય. તો $f(\log_e(1)), f(\log_e(2)), \ldots, f(\log_e(625))$ નો મધ્યક શોધો:

Similar Questions

જો વસ્તી દર વર્ષે $8 \%$ ના દરે વધતી હોય,તો વસ્તી બમણી થવા માટે લાગતો સમય કેટલો છે ($\text{વર્ષ}$ માં)? (આપેલ છે $\log 2=0.6912$ )

સમીકરણ $\frac{x^2 d^2y}{dx^2} = \ln x$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 0$ અને $\frac{dy}{dx} = -1$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module