ધારો કે int_{-2}^{2} (|sin x| + [x sin x]) dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$. કારણ કે $|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે, $\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$. કારણ કે $|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય છે, $\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\cos x]_0^2 = 2(1 - \cos 2)$. હવે, $f(x) = x \sin x$ લો. કારણ કે $f(x)$ યુગ્મ છે, $\int_{-2}^2 [x \sin x] dx = 2 \int_0^2 [x \sin x] dx$. $x \in [0, 2]$ માટે, $x \sin x$ એ $0$ થી $2 \sin 2 \approx 1.818$ સુધી વધે છે. તેથી, $[x \sin x] = 0$ જ્યારે $x \in [0, x_0)$ જ્યાં $x_0 \sin x_0 = 1$, અને $[x \sin x] = 1$ જ્યારે $x \in [x_0, 2]$. તેથી, $2 \int_0^2 [x \sin x] dx = 2 \int_{x_0}^2 1 dx = 2(2 - x_0) = 4 - 2x_0$. આમ, $I = 2(1 - \cos 2) + 4 - 2x_0 = 2 - 2\cos 2 + 4 - 2x_0 = 2(3 - \cos 2) - 2x_0$. આને $2(3 - \cos 2) + \beta$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\beta = -2x_0$ મળે છે. $x_0 \sin x_0 = 1$ આપેલ હોવાથી, $\beta \sin(\frac{\beta}{2}) = -2x_0 \sin(-x_0) = 2x_0 \sin x_0 = 2(1) = 2$.

ધારો કે $\int_{-2}^{2} (|\sin x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. તો $\beta \sin(\frac{\beta}{2})$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

સંકલન $\int_{-1/2}^{1/2} \left( [x] + \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right) dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે):

ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$. તો

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq x$ હોય,તો સંકલન $\int_{-0.9}^{0.9} \left( [x^2] + \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) \right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $u = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{{x^2} + 1}}} \,dx$ અને $v = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln (\sin 2x)} \,dx$,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module