मान लीजिए f(x) = begin{cases} 0, & x

Question

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$.सबसे पहले,हम $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:$\lim_{x 	o 0^-} f(x

Vedclass · Accepted Answer

$f'$ सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 0, & x सबसे पहले,हम $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{h 	o 0} f(0 - h) = 0$.$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{h 	o 0} f(0 + h) = \lim_{h 	o 0} (0 + h)^2 = 0$.चूंकि $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है।अब,हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:$Lf'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0 - h) - f(0)}{-h} = \lim_{h 	o 0} \frac{0 - 0}{-h} = 0$.$Rf'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} h = 0$.चूंकि $Lf'(0) = Rf'(0) = 0$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 0$ है।अवकलज $f'(x) = \begin{cases} 0, & x अब,$x = 0$ पर $f'(x)$ के सांतत्य की जाँच करते हैं:$\lim_{x 	o 0^-} f'(x) = 0$ और $\lim_{x 	o 0^+} f'(x) = \lim_{x 	o 0^+} 2x = 0$.चूंकि $\lim_{x 	o 0^-} f'(x) = \lim_{x 	o 0^+} f'(x) = f'(0) = 0$,इसलिए $f'(x)$,$x = 0$ पर सतत है।अंत में,$x = 0$ पर $f'(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करते हैं:$Lf''(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f'(0 - h) - f'(0)}{-h} = \lim_{h 	o 0} \frac{0 - 0}{-h} = 0$.$Rf''(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f'(0 + h) - f'(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{2(0 + h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{2h}{h} = 2$.चूंकि $Lf''(0) 
eq Rf''(0)$,इसलिए $f'(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$,तो $x$ के सभी मानों के लिए

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