मान लीजिए $f:R \to R$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है।
कथन-$1$: किसी $c \in R$ के लिए $f(c) = \frac{1}{3}$ है।
कथन-$2$: सभी $x \in R$ के लिए $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।

List-$I$ में दिए गए प्रत्येक फलन को List-$II$ में दिए गए उसके अवकलज (derivative) से सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$(A) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$	$(I) \cos x-\sin x$
$(B) \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$	$(II) \frac{-1}{1+x^2}$
$(C) e^{\log (\sin x+\cos x)}$	$(III) \frac{2}{1+x^2}$
$(D) \sqrt{1-\sin 2 x} \text{ के लिए } (0 < x < \frac{\pi}{4})$	$(IV) \cos x+\sin x$
	$(V) -\sin x-\cos x$

सही मिलान है:

मान लीजिए $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$ है। तो $x = -1$ पर $y'(x) - y''(x)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ एक बिंदु है जो $f(x)$ के ग्राफ पर स्थित है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन बाकी हर जगह $f''(x)$ ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दिए गए हैं:
$f'(x)$ चिह्न चार्ट:
- $x < -5$ के लिए,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ के लिए,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ के लिए,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ के संभावित ग्राफ से,हम कह सकते हैं कि:

$f(x)$ एक अवकलनीय फलन है और $f^{\prime}(2)=6$ तथा $f^{\prime}(1)=4$ दिया गया है, तो $L=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(2+2 h+h^2\right)-f(2)}{f\left(1+h-h^2\right)-f(1)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x > 0$ के लिए फलनों $f_{1}(x) = x$ और $f_{2}(x) = 2 + \ln x$ पर विचार करें। इन फलनों के आलेख कहाँ प्रतिच्छेद करते हैं?