ધારો કે $f(x)$ એક દ્વિઘાત પદાવલિ છે જે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે ધન છે. જો $g(x) = f(x) + f'(x) + f''(x)$ હોય,તો કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે,કયું વિધાન સાચું છે?

વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ એવા છે કે $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\sin x - \frac{\pi}{2}}$ અને $f'(x)g(x) = \cos^2 x$. તો અંતરાલ $(0, 3\pi)$ માં સમીકરણ $f(x) + g(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
$f'(x)$ ચિહ્ન ચાર્ટ:
- $x < -5$ માટે,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ માટે,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ માટે,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે:

List-$I$ માં આપેલા દરેક વિધેયને List-$II$ માં આપેલા તેના વિકલિત સાથે જોડો.

List-$I$	List-$II$
$(A) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$	$(I) \cos x-\sin x$
$(B) \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$	$(II) \frac{-1}{1+x^2}$
$(C) e^{\log (\sin x+\cos x)}$	$(III) \frac{2}{1+x^2}$
$(D) \sqrt{1-\sin 2 x} \text{ માટે } (0 < x < \frac{\pi}{4})$	$(IV) \cos x+\sin x$
	$(V) -\sin x-\cos x$

સાચી જોડ પસંદ કરો:

જો $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \\ -\cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$(A)$ $f(x)$ એ $x=-\frac{\pi}{2}$ આગળ સતત છે
$(B)$ $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી
$(C)$ $f(x)$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે
$(D)$ $f(x)$ એ $x=-\frac{3}{2}$ આગળ વિકલનીય છે

જો $f(x)=\sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2 x}}{1+2^{2 x}}\right)\right)$ હોય અને $x =1$ આગળ તેનું $x$ ની સાપેક્ષ પ્રથમ વિકલિત $-\frac{ b }{ a } \log _{ e } 2$ હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,તો $\left| a ^{2}- b ^{2}\right|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.........