मान लीजिए l = mathop {Lim}limits_{x to {0^ + | vedclass

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Question

(A) हमें सीमा $l = \mathop {Lim}\limits_{x 	o {0^ + }} x^m (\ln x)^n$ दी गई है।इस व्यंजक को $l = \mathop {Lim}\limits_{x 	o {0^ + }} \frac{(\ln x)^n

Vedclass · Accepted Answer

$l$,$m$ और $n$ से स्वतंत्र है

Vedclass · Answer

(A) हमें सीमा $l = \mathop {Lim}\limits_{x 	o {0^ + }} x^m (\ln x)^n$ दी गई है।इस व्यंजक को $l = \mathop {Lim}\limits_{x 	o {0^ + }} \frac{(\ln x)^n}{x^{-m}}$ के रूप में फिर से लिखें।चूंकि यह $x 	o 0^+$ होने पर $\frac{\infty}{\infty}$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है,इसलिए हम $L'	ext{Hospital}$ नियम का $n$ बार उपयोग करते हैं।नियम का $n$ बार उपयोग करने के बाद,अंश $n!$ (जो $(-1)^n$ से गुणा होता है) बन जाता है और हर में $x^m$ स्थिरांकों के साथ गुणा होता है।विशेष रूप से,$l = \mathop {Lim}\limits_{x 	o {0^ + }} \frac{n! (-1)^n}{(-m)^n x^{-m}} = \mathop {Lim}\limits_{x 	o {0^ + }} \frac{n! (-1)^n x^m}{(-m)^n} = 0$।चूंकि सीमा $l = 0$ किसी भी प्राकृतिक संख्या $m$ और $n$ के लिए समान रहती है,इसलिए $l$ का मान $m$ और $n$ दोनों से स्वतंत्र है।

मान लीजिए $l = \mathop {Lim}\limits_{x \to {0^ + }} x^m (\ln x)^n$ जहाँ $m, n \in N$,तो:

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