ધારો કે f(x) = frac{tan^n x}{sum_{r=0}^{2n} t | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $	an x = t$. કારણ કે $x \in [0, \frac{\pi}{2})$,તેથી $t \in [0, \infty)$.$f(x) = \frac{t^n}{1 + t + t^2 + \dots + t^{2n}}$.$t=0$ માટે,$f(

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)$ સીમિત છે અને તે તેની બંને સીમાઓ લે છે અને $f(x)$ નો વિસ્તાર બરાબર એક પૂર્ણાંક બિંદુ ધરાવે છે.

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $	an x = t$. કારણ કે $x \in [0, \frac{\pi}{2})$,તેથી $t \in [0, \infty)$.$f(x) = \frac{t^n}{1 + t + t^2 + \dots + t^{2n}}$.$t=0$ માટે,$f(x) = 0$.$t > 0$ માટે,અંશ અને છેદને $t^n$ વડે ભાગતા:$f(x) = \frac{1}{t^n + t^{n-1} + \dots + 1 + \dots + \frac{1}{t^{n-1}} + \frac{1}{t^n}}$.$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$t > 0$ માટે $t^k + \frac{1}{t^k} \ge 2$.આમ,છેદ $\ge 2 + 2 + \dots + 2 + 1 = 2n + 1$.તેથી,$f(x) \le \frac{1}{2n+1}$.સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $t=1$,એટલે કે $x = \frac{\pi}{4}$.$f(0) = 0$ અને મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2n+1}$ હોવાથી,વિસ્તાર $[0, \frac{1}{2n+1}]$ છે.$n \in N$ હોવાથી,$2n+1 \ge 3$,તેથી $\frac{1}{2n+1} < 1$. વિસ્તાર $[0, \frac{1}{2n+1}]$ માં માત્ર એક જ પૂર્ણાંક $0$ છે. આમ,તે બરાબર એક પૂર્ણાંક બિંદુ ધરાવે છે.

ધારો કે $f(x) = \frac{\tan^n x}{\sum_{r=0}^{2n} \tan^r x}$,$n \in N$,જ્યાં $x \in [0, \frac{\pi}{2})$.

Similar Questions

જો વિધેય $f(x) = -3x - 3$ નો વિસ્તાર $\{3, -6, -9, -18\}$ હોય, તો નીચેનામાંથી કયો ઘટક $f$ ના પ્રદેશમાં નથી?

જો $f:R \to S$ એ $f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને તે વ્યાપ્ત (onto) હોય,તો $S$ નો અંતરાલ શું છે?

જો $f:[2,3] \rightarrow R$ એ $f(x)=x^3+3x-2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f(x)$ નો વિસ્તાર કયા અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module