मान लीजिए f: [-1, 2] rightarrow R एक अवकलनीय | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ है।$-1$ से $0$ तक $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int_{-1}^{0} 0 \, dt \le \int_{-1}^{0}

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$-2 \le f(2) - f(-1) \le 1$

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(A) दिया गया है कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ है।$-1$ से $0$ तक $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int_{-1}^{0} 0 \, dt \le \int_{-1}^{0} f'(t) \, dt \le \int_{-1}^{0} 1 \, dt$$0 \le f(0) - f(-1) \le 1$ ... $(1)$दिया गया है कि $t \in [0, 2]$ के लिए $-1 \le f'(t) \le 0$ है।$0$ से $2$ तक $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int_{0}^{2} -1 \, dt \le \int_{0}^{2} f'(t) \, dt \le \int_{0}^{2} 0 \, dt$$-2 \le f(2) - f(0) \le 0$ ... $(2)$असमिकाओं $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$(0 - 2) \le (f(0) - f(-1)) + (f(2) - f(0)) \le (1 + 0)$$-2 \le f(2) - f(-1) \le 1$.

मान लीजिए $f: [-1, 2] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ और $t \in [0, 2]$ के लिए $-1 \le f'(t) \le 0$ है। तो:

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यदि $f(x) = \sin^2 x + x \sin 2x \log x$ है,तो $f(x) = 0$ के

यदि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ कहीं भी शून्य नहीं होता है,तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5).$

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