मान लीजिए vec{u} = ahat{i} + bhat{j} + chat{k | vedclass

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Question

(B) दिए गए सदिश $\vec{u} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$,$\vec{v} = b\hat{i} + c\hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{w} = c\hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ है

Vedclass · Accepted Answer

समतलीय (coplanar)

Vedclass · Answer

(B) दिए गए सदिश $\vec{u} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$,$\vec{v} = b\hat{i} + c\hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{w} = c\hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ हैं।अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \, \vec{v} \, \vec{w}]$ सारणिक द्वारा दिया जाता है:$\begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} = 0$.सारणिक का विस्तार करने पर:$-(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$.यह सरल होकर प्राप्त होता है:$-(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$.चूंकि $(a + b + c) 
eq 0$,इसलिए $(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{1}{2}((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2) = 0$.यह केवल तभी संभव है जब $a = b = c$ हो।यदि $a = b = c$ है,तो $\vec{u} = \vec{v} = \vec{w} = a(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ होगा।चूंकि $\vec{w} = \lambda \vec{x} + \mu \vec{y}$,सदिश $\vec{w}$,$\vec{x}$ और $\vec{y}$ द्वारा निर्मित समतल में स्थित है।चूंकि $\vec{u} = \vec{v} = \vec{w}$,ये सभी सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ उस समतल में स्थित हैं जो $\vec{x}$ और $\vec{y}$ द्वारा फैला हुआ है।अतः,सदिश $\vec{x}, \vec{y}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ समतलीय हैं।

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