ધારો કે એક વિધેય $f: R \rightarrow R$ આ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે :
$f(x)=\begin{cases} \int_{0}^{x}(5-|t-3|) d t, & x>4 \\ x^{2}+b x, & x \leq 4 \end{cases}$
જ્યાં $b \in R$. જો $f$ એ $x=4$ આગળ સતત હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

ધારો કે $f:[0,3] \rightarrow R$ એ $f(x)=\min \{x-[x], 1+[x]-x\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. ધારો કે $P$ એ $x \in[0,3]$ ના તમામ બિંદુઓનો ગણ છે જ્યાં $f$ અસતત છે,અને $Q$ એ $x \in(0,3)$ ના તમામ બિંદુઓનો ગણ છે જ્યાં $f$ વિકલનીય નથી. તો $P$ અને $Q$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યાનો સરવાળો $......$ છે.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} x^{3/5} & \text{જો } x \le 1 \\ -(x - 2)^3 & \text{જો } x > 1 \end{cases}$. તો વિધેયના આલેખ પરના ક્રાંતિક બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $y = \frac{\tan x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$ હોય, તો $x = 0$ હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ અને $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$. જો $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ હોય,તો $f(\beta)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ નીચે મુજબ આપેલ છે:
$f(x) = \begin{cases} x^5+5x^4+10x^3+10x^2+3x+1, & x < 0 \\ x^2-x+1, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{2}{3}x^3-4x^2+7x-\frac{8}{3}, & 1 \leq x < 3 \\ (x-2)\log_e(x-2)-x+\frac{10}{3}, & x \geq 3 \end{cases}$
તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $f^{\prime}$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે
$(2)$ $f$ વ્યાપ્ત (onto) છે
$(3)$ $f$ એ $(-\infty, 0)$ પર વધતું વિધેય છે
$(4)$ $f^{\prime}$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી