मान लीजिए कि एक सदिश overrightarrow{a}=sqrt{2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{

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$5$

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(A) दिया गया है $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{k}$. चूंकि $\overrightarrow{a}$ धनात्मक $z$-अक्ष के साथ $ heta$ कोण बनाता है, $\cos heta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \hat{k}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\lambda}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-1)^2+\lambda^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}}$. दिया गया है $\frac{\pi}{6} < heta < \frac{\pi}{2}$, इसलिए $\cos \frac{\pi}{2} < \cos heta < \cos \frac{\pi}{6}$, जिसका अर्थ है $0 < \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}} < \frac{\sqrt{3}}{2}$. असमिका का वर्ग करने पर, $0 < \frac{\lambda^2}{3+\lambda^2} < \frac{3}{4}$. चूंकि $\lambda > 0$, बायां भाग हमेशा सत्य है। दाएं भाग के लिए, $4\lambda^2 < 9 + 3\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2 < 9 \Rightarrow \lambda < 3$. अतः $\lambda \in (0, 3)$....$(1)$ चूंकि $\overrightarrow{a}$ सदिश $\overrightarrow{b}$ के साथ अधिक कोण बनाता है, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\sqrt{2})(-\lambda^2) + (-1)(4\sqrt{2}) + (\lambda)(4\sqrt{2}) = -\sqrt{2}(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = -\sqrt{2}(\lambda-2)^2 < 0$. चूंकि $\sqrt{2} > 0$, इसलिए $(\lambda-2)^2 > 0$ होना चाहिए, जिसका अर्थ है $\lambda eq 2$....$(2)$ $(1)$ और $(2)$ से, $\lambda \in (0, 3) - \{2\}$. अतः, $\alpha=0, \beta=3, \gamma=2$. इसलिए, $\alpha+\beta+\gamma = 0+3+2 = 5$.

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