ધારો કે સદિશ overrightarrow{a}=sqrt{2}hat{i}- | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{k}$. સદિશ $\overrightarrow{a}$ એ ધન $z$-અક્ષ સાથે $ heta$ ખૂણો બનાવતો હોવાથી, $\cos heta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \hat{k}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\lambda}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-1)^2+\lambda^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}}$. આપેલ છે કે $\frac{\pi}{6} < heta < \frac{\pi}{2}$, તેથી $\cos \frac{\pi}{2} < \cos heta < \cos \frac{\pi}{6}$, જે સૂચવે છે કે $0 < \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}} < \frac{\sqrt{3}}{2}$. અસમતાનો વર્ગ કરતા, $0 < \frac{\lambda^2}{3+\lambda^2} < \frac{3}{4}$. $\lambda > 0$ હોવાથી, ડાબી બાજુ હંમેશા સાચી છે. જમણી બાજુ માટે, $4\lambda^2 < 9 + 3\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2 < 9 \Rightarrow \lambda < 3$. તેથી $\lambda \in (0, 3)$....$(1)$ સદિશ $\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ સાથે ગુરુકોણ બનાવતો હોવાથી, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\sqrt{2})(-\lambda^2) + (-1)(4\sqrt{2}) + (\lambda)(4\sqrt{2}) = -\sqrt{2}(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = -\sqrt{2}(\lambda-2)^2 < 0$. $\sqrt{2} > 0$ હોવાથી, $(\lambda-2)^2 > 0$ હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $\lambda eq 2$....$(2)$ $(1)$ અને $(2)$ પરથી, $\lambda \in (0, 3) - \{2\}$. આમ, $\alpha=0, \beta=3, \gamma=2$. તેથી, $\alpha+\beta+\gamma = 0+3+2 = 5$.

Similar Questions

સદિશ $\hat{i}-\hat{j}$ નો સદિશ $\hat{i}+\hat{j}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module