मान लीजिए कि सम्मिश्र संख्याएँ alpha और frac{ | vedclass

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Question

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{7}}$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए वृत्त $|z-z_0|=r$ और $|z-z_0|=2r$ हैं।चूंकि $\alpha$ पहले वृत्त पर स्थित है,$|\alpha-z_0|=r$,जिसका अर्थ है $|\alpha-z_0|^2=r^2$.इसका विस्तार करने पर,$|\alpha|^2 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2 = r^2$  $(1)$.चूंकि $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ दूसरे वृत्त पर स्थित है,$|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|=2r$,जिसका अर्थ है $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$.$\bar{\alpha}\alpha = |\alpha|^2$ का उपयोग करते हुए,$|\frac{\alpha}{|\alpha|^2}-z_0|^2=4r^2$.इसका विस्तार करने पर,$\frac{1}{|\alpha|^2} - \frac{z_0\bar{\alpha}}{|\alpha|^2} - \frac{\bar{z}_0\alpha}{|\alpha|^2} + |z_0|^2 = 4r^2$.$|\alpha|^2$ से गुणा करने पर,$1 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2|\alpha|^2 = 4r^2|\alpha|^2$  $(2)$.$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$(|z_0|^2|\alpha|^2 - |z_0|^2) + (1 - |\alpha|^2) = 4r^2|\alpha|^2 - r^2$.$|z_0|^2(|\alpha|^2-1) - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.$(|z_0|^2-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.दिया गया है $2|z_0|^2 = r^2+2$,इसलिए $|z_0|^2 = \frac{r^2+2}{2}$.यह मान रखने पर,$(\frac{r^2+2}{2}-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.$\frac{r^2}{2}(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.$\frac{1}{2}|\alpha|^2 - \frac{1}{2} = 4|\alpha|^2 - 1$.$\frac{1}{2} = \frac{7}{2}|\alpha|^2$.$|\alpha|^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow |\alpha| = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

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