मान लीजिए कि सम्मिश्र संख्याएँ z_1, z_2 और z_ | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $r$ समबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या है और $\omega$ इकाई का घनमूल है। मान लीजिए $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A, B$ और $C$ क्रमशः

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$3z_0^2$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए $r$ समबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या है और $\omega$ इकाई का घनमूल है। मान लीजिए $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A, B$ और $C$ क्रमशः $z_1, z_2$ और $z_3$ हैं,और परिकेंद्र $O'(z_0)$ है।सदिश $O'A, O'B, O'C$ परिमाण में समान हैं और $\frac{2\pi}{3}$ के कोण से अलग हैं।तब,हम लिख सकते हैं:$z_1 - z_0 = r e^{i	heta}$$z_2 - z_0 = r e^{i(	heta + \frac{2\pi}{3})} = r \omega e^{i	heta}$$z_3 - z_0 = r e^{i(	heta + \frac{4\pi}{3})} = r \omega^2 e^{i	heta}$अतः,$z_1 = z_0 + r e^{i	heta}$,$z_2 = z_0 + r \omega e^{i	heta}$,और $z_3 = z_0 + r \omega^2 e^{i	heta}$.इनका वर्ग करके जोड़ने पर:$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = (z_0 + r e^{i	heta})^2 + (z_0 + r \omega e^{i	heta})^2 + (z_0 + r \omega^2 e^{i	heta})^2$$= 3z_0^2 + 2 z_0 r e^{i	heta} (1 + \omega + \omega^2) + r^2 e^{i2	heta} (1 + \omega^2 + \omega^4)$चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega = 0$,हमें प्राप्त होता है:$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 3z_0^2$.

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