मान लीजिए कि बिंदु P(1,2,-1) से सीधी रेखा L: | vedclass

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Question

(D) रेखा $L$ को $\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{-1} = \lambda$ द्वारा दिया गया है। अतः,$L$ पर कोई भी बिंदु $N(\lambda, 0, -\lambda)$ है।चूंकि $PN \p

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(D) रेखा $L$ को $\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{-1} = \lambda$ द्वारा दिया गया है। अतः,$L$ पर कोई भी बिंदु $N(\lambda, 0, -\lambda)$ है।चूंकि $PN \perp L$,सदिश $\vec{PN} = (\lambda-1, -2, -\lambda+1)$ रेखा $L$ के दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 0, -1)$ के लंबवत है।अतः,$(\lambda-1)(1) + (-2)(0) + (-\lambda+1)(-1) = 0 \Rightarrow \lambda-1 + \lambda-1 = 0 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.अतः,$N = (1, 0, -1)$ और $\vec{PN} = (0, -2, 0)$.अब,मान लीजिए कि $P$ से गुजरने वाली और समतल $x+y+2z=0$ के समानांतर रेखा $L$ से $Q(\mu, 0, -\mu)$ पर मिलती है।सदिश $\vec{PQ} = (\mu-1, -2, -\mu+1)$ है। चूंकि यह रेखा समतल के समानांतर है,इसलिए $\vec{PQ}$ समतल के अभिलंब $\vec{n} = (1, 1, 2)$ के लंबवत है।अतः,$(\mu-1)(1) + (-2)(1) + (-\mu+1)(2) = 0 \Rightarrow \mu-1 - 2 - 2\mu + 2 = 0 \Rightarrow -\mu - 1 = 0 \Rightarrow \mu = -1$.अतः,$Q = (-1, 0, 1)$ और $\vec{PQ} = (-2, -2, 2)$.$\vec{PN} = (0, -2, 0)$ और $\vec{PQ} = (-2, -2, 2)$ के बीच का कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{|\vec{PN} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PN}| |\vec{PQ}|}$ द्वारा दिया जाता है।$|\vec{PN}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = 2$.$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.$\vec{PN} \cdot \vec{PQ} = (0)(-2) + (-2)(-2) + (0)(2) = 4$.$\cos \alpha = \frac{4}{2 	imes 2\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

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