समतलों $2x-y+z-3=0$ और $4x-3y+5z+9=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-3}{5}$ के समानांतर समतल का समीकरण $\alpha x+\beta y+\gamma z+d=0$ है। तो $\alpha+\beta+\gamma+d=$

समतलों $x + y + z = 6$ और $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(1, 1, 1)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P_1$ और $P_2$ दो समतल हैं जो $P_1: 10x + 15y + 12z - 60 = 0$ और $P_2: -2x + 5y + 4z - 20 = 0$ द्वारा दिए गए हैं। निम्नलिखित में से कौन सी सीधी रेखा किसी ऐसे चतुष्फलक (tetrahedron) की कोर (edge) हो सकती है जिसके दो फलक $P_1$ और $P_2$ पर स्थित हैं?
$(A) \frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-1}{5}$
$(B) \frac{x-6}{-5} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$
$(C) \frac{x}{-2} = \frac{y-4}{5} = \frac{z}{4}$
$(D) \frac{x}{1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z}{3}$

यदि बिंदु $(2, -1, 3)$ से गुजरने वाले और समतलों $3x - 2y + z = 9$ तथा $x + y + z = 9$ के लंबवत समतल का समीकरण $x + by + cz + d = 0$ है, तो $d =$

एक रेखा $l$ मूल बिंदु से गुजरती है और रेखाओं $l_1 = (3 + t)\hat{i} + (-1 + 2t)\hat{j} + (4 + 2t)\hat{k}$ तथा $l_2 = (3 + 2s)\hat{i} + (3 + 2s)\hat{j} + (2 + s)\hat{k}$ पर लंब है।
कथन $1$: रेखा $l$ और $l_2$ समतलीय रेखाएं हैं।
कथन $2$: रेखा $l$ और $l_2$ प्रतिच्छेदी रेखाएं हैं।

समतलों $\pi_1 \equiv x+3y-6=0$ और $\pi_2 \equiv 3x-y+4z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $\pi_1+\lambda \pi_2=0$ है। यदि समतल $\pi$ मूल बिंदु से इकाई दूरी पर है,तो समतल $\pi$ का एक समीकरण है