मान लीजिए कि बिंदुओं A, B, C और D के स्थिति स | vedclass

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Question

(A) बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{AB}, \vec{AC}

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$41$

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(A) बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:$\vec{AB} = -4\hat{i} - 3\hat{j} + (3-2\lambda)\hat{k}$$\vec{AC} = -7\hat{i} + (\lambda-5)\hat{j} + (4-2\lambda)\hat{k}$$\vec{AD} = -6\hat{i} + 0\hat{j} + (6-2\lambda)\hat{k}$सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:$\begin{vmatrix} -4 & -3 & 3-2\lambda \ -7 & \lambda-5 & 4-2\lambda \ -6 & 0 & 6-2\lambda \end{vmatrix} = 0$तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$-6[(-3)(4-2\lambda) - (3-2\lambda)(\lambda-5)] + (6-2\lambda)[(-4)(\lambda-5) - (-3)(-7)] = 0$इस समीकरण को हल करने पर हमें $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$\lambda = 2, 3$ अर्थात $S = \{2, 3\}$.योगफल की गणना करने पर: $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2 = (2+2)^2 + (3+2)^2 = 16 + 25 = 41$.

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