मान लीजिए कि एक पक्षपाती सिक्के पर चित (head) आने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है। इसे बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि चित न आ जाए। मान लीजिए $N$ आवश्यक उछालों की संख्या है। यदि समीकरण $64x^2 + 5Nx + 1 = 0$ का कोई वास्तविक मूल न होने की प्रायिकता $\frac{p}{q}$ है,जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं,तो $q - p$ का मान ज्ञात कीजिए।

समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ से तीन संख्याएँ यादृच्छिक रूप से,एक के बाद एक प्रतिस्थापन के साथ चुनी जाती हैं। मान लीजिए $p_1$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का अधिकतम मान कम से कम $81$ है और $p_2$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का न्यूनतम मान अधिकतम $40$ है।
$(1)$ $\frac{625}{4} p_1$ का मान क्या है?
$(2)$ $\frac{125}{4} p_2$ का मान क्या है?

$A$ और $B$ बारी-बारी से पासे की एक जोड़ी फेंकते हैं। $A$ जीतता है यदि वह $B$ के $8$ के योग से पहले $5$ का योग प्राप्त करता है,और $B$ जीतता है यदि वह $A$ के $5$ के योग से पहले $8$ का योग प्राप्त करता है। यदि $A$ पहली बार फेंकता है,तो $A$ के जीतने की प्रायिकता क्या है?

एक निष्पक्ष पासे को तब तक फेंका जाता है जब तक कि $2$ न आ जाए। तो $2$ के सम संख्या वाले प्रयासों में आने की प्रायिकता क्या है?

$50$ स्क्रू के एक लॉट में $5$ खराब स्क्रू हैं। यदि $3$ स्क्रू यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं,तो इस घटना की प्रायिकता कि सभी $3$ स्क्रू सही (गैर-खराब) हों,यदि चयन $(a)$ प्रतिस्थापन के साथ और $(b)$ प्रतिस्थापन के बिना किया जाता है,तो क्रमशः क्या होगी?

माना $S = \{w_1, w_2, \ldots\}$ एक यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित प्रतिदर्श समष्टि है। माना $P(w_n) = \frac{P(w_{n-1})}{2}, n \geq 2$ के लिए। माना $A = \{2k + 3\ell : k, \ell \in \mathbb{N}\}$ और $B = \{w_n : n \in A\}$ है। तो $P(B)$ का मान ज्ञात कीजिए।