अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की उन जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ,जो परवलय $x^2 = 4by$ की स्पर्श रेखाएँ हैं,होगा -

एक वृत्त खींचा गया है जिसका केंद्र परवलय $y^2 = 4ax$ का शीर्ष है और जिसका व्यास परवलय के नाभिलंब का तीन-चौथाई है। यदि $PQ$ वृत्त और परवलय की उभयनिष्ठ जीवा है और $L_1L_2$ नाभिलंब है,तो समलंब चतुर्भुज $PL_1L_2Q$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

परवलय $y^2 = 8x$ और अतिपरवलय $3x^2 - y^2 = 3$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण है:

$C$ उस वृत्त का केंद्र है जिसका केंद्र $(0, 1)$ और त्रिज्या इकाई है। $P$ परवलय $y = ax^2$ है। $a$ के उन मानों का समुच्चय जिनके लिए वे मूल बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु पर मिलते हैं,है

वक्रों $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $T$ चौथे चतुर्थांश से होकर नहीं गुजरती है। यदि $T$,$C_{1}$ को $(x_{1}, y_{1})$ पर और $C_{2}$ को $(x_{2}, y_{2})$ पर स्पर्श करती है,तो $|2x_{1} + x_{2}|$ का मान $......$ है।

यदि परवलय $y^2=3x$ पर एक बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा रेखा $x+2y=1$ के समानांतर है और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ पर बिंदुओं $Q$ और $R$ पर स्पर्शरेखाएं रेखा $x-y=2$ के लंबवत हैं,तो त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल है: