8 cos^2 x + 18 sec^2 x ની ન્યૂનતમ કિંમત,જ્યાં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$.ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \

Vedclass · Accepted Answer

$26$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$.ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{8 \cos^2 x \cdot 18 \sec^2 x}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq 12$$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x \geq 24$.જોકે,આપણે તપાસવું પડશે કે સમાનતા શક્ય છે કે નહીં. $AM$-$GM$ માં સમાનતા ત્યારે જ મળે જ્યારે $8 \cos^2 x = 18 \sec^2 x$ થાય.$\cos^4 x = \frac{18}{8} = 2.25$. કારણ કે $\cos^4 x$ ની કિંમત $1$ થી વધી શકે નહીં,તેથી આ સમાનતા શક્ય નથી.હવે,વિધેય $f(x) = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ ને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $t = \cos^2 x$. તો $y = 8t + \frac{18}{t}$,જ્યાં $t \in (0, 1]$.$f(t) = 8t + \frac{18}{t}$ નું વિકલન $f'(t) = 8 - \frac{18}{t^2}$ થાય. $f'(t) = 0$ લેતા $t^2 = 2.25$,એટલે કે $t = 1.5$,જે પ્રદેશ $(0, 1]$ ની બહાર છે.$t \in (0, 1]$ માટે $f'(t) તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t$ ની મહત્તમ કિંમત $t = 1$ (એટલે કે $\cos^2 x = 1$) પર મળશે.$y_{min} = 8(1) + \frac{18}{1} = 8 + 18 = 26$.

$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત,જ્યાં તે વ્યાખ્યાયિત છે,તે શોધો:

Similar Questions

$\frac{1}{{\tan 3A - \tan A}} - \frac{1}{{\cot 3A - \cot A}} = $

$\frac{\sec 8A - 1}{\sec 4A - 1} = $

જો $\Delta ABC$ માં ખૂણો $B$ કાટખૂણો હોય,$AB = 6$ એકમ,અને $\angle C = 30^{\circ}$ હોય,તો $AC$ નું માપ (એકમમાં) કેટલું થાય?

જો $\tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) + \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) = \lambda \sec 2\theta$ હોય,તો $\lambda$ =

$\log \sin 1^{\circ} \cdot \log \sin 2^{\circ} \cdot \log \sin 3^{\circ} \cdot \ldots \cdot \log \sin 179^{\circ} = ?$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module