x in [0, 4] के लिए फलन f(x) = sin({2^x + [2^x | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \sin(\{2^x + [2^x] + [3^{-x}]\})$.चूँकि $[2^x]$ और $[3^{-x}]$ पूर्णांक हैं,हम गुणधर्म $\{x + n\} = \{x\}$ का उपयोग करते हैं,जह

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$15$

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(C) दिया गया है $f(x) = \sin(\{2^x + [2^x] + [3^{-x}]\})$.चूँकि $[2^x]$ और $[3^{-x}]$ पूर्णांक हैं,हम गुणधर्म $\{x + n\} = \{x\}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।अतः,$f(x) = \sin(\{2^x + [2^x] + [3^{-x}]\}) = \sin(\{2^x + [3^{-x}]\}) = \sin(\{2^x\})$.फलन $f(x) = \sin(\{2^x\})$ वहाँ असांतत्य है जहाँ $2^x$ एक पूर्णांक है,क्योंकि भिन्नात्मक भाग फलन $\{u\}$ सभी पूर्णांकों $u$ पर असांतत्य होता है।$x \in [0, 4]$ के लिए,$2^x$ का मान $[2^0, 2^4] = [1, 16]$ अंतराल में होता है।अंतराल $[1, 16]$ में पूर्णांक $1, 2, 3, \dots, 16$ हैं।हालाँकि,$x=0$ पर,$2^x=1$ है,और $\{2^x\}$ का मान $0$ से $0$ की ओर जाता है (जैसे $x 	o 0^+$,$2^x 	o 1^+$,$\{2^x\} 	o 0$),इसलिए यह $x=0$ पर संतत है।$x > 0$ के लिए,$2^x = k$ (जहाँ $k \in \{2, 3, \dots, 16\}$),फलन $\{2^x\}$ में असांतत्य होता है।$k$ के ऐसे कुल $15$ मान हैं $(k=2, 3, \dots, 16)$।अतः,असांतत्य के बिंदुओं की संख्या $15$ है।

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यह सुनिश्चित करने के लिए कि फलन $f(x) = (x + 1)^{\cot x}$,$x = 0$ पर सतत है,$f(0)$ को किस प्रकार परिभाषित किया जाना चाहिए?

वे मान $p$ और $q$ जिनके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(p+1)x + \sin x}{x} & x < 0 \\ q & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} & x > 0 \end{cases}$ $\forall x \in R$ के लिए सतत है,हैं

फलन $f(x) = [x] \cdot \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \right) \pi$,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,कहाँ असंतत है?

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