$24$ अक्षरों में से $8$ अक्षरों के चयन के तरीकों की संख्या,जिनमें से $8$ अक्षर $a$ हैं,$8$ अक्षर $b$ हैं और शेष $8$ अलग-अलग हैं,वह है:

एक परीक्षा में $3$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न के $4$ विकल्प हैं। यदि कोई छात्र सभी प्रश्नों के सही उत्तर देने पर ही उत्तीर्ण होता है,तो वह कितने तरीकों से अनुत्तीर्ण हो सकता है?

यदि $0, 1, 2, 3, 4$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $3$ से विभाज्य पाँच अंकों की संख्या बनानी है,तो ऐसा करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

यदि पाँच अलग-अलग झंडे उपलब्ध हैं,तो एक ऊर्ध्वाधर दंड पर कम से कम $2$ झंडों को क्रम में (एक के नीचे एक) व्यवस्थित करके कितने विभिन्न संकेत उत्पन्न किए जा सकते हैं?

$n$ सफेद और $n$ काली गेंदें हैं जिन पर $1, 2, 3, \ldots, n$ अंकित है। इन गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि आसन्न गेंदें अलग-अलग रंगों की हों?

जब $1! + 2! + 3! + \ldots + 11!$ को $12$ से विभाजित किया जाता है, तो प्राप्त शेषफल क्या है?