दो सदिशों का अदिश गुणनफल उनके कार्तीय घटकों के पदों में प्राप्त कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि दो सदिश $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ को कार्तीय घटकों में इस प्रकार लिखा गया है:
$\overrightarrow{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}$
$\overrightarrow{B} = B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}$
अतः,अदिश गुणनफल:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}) \cdot (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k})$
वितरण नियम का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$= A_{x} B_{x}(\hat{i} \cdot \hat{i}) + A_{x} B_{y}(\hat{i} \cdot \hat{j}) + A_{x} B_{z}(\hat{i} \cdot \hat{k}) + A_{y} B_{x}(\hat{j} \cdot \hat{i}) + A_{y} B_{y}(\hat{j} \cdot \hat{j}) + A_{y} B_{z}(\hat{j} \cdot \hat{k}) + A_{z} B_{x}(\hat{k} \cdot \hat{i}) + A_{z} B_{y}(\hat{k} \cdot \hat{j}) + A_{z} B_{z}(\hat{k} \cdot \hat{k})$
इकाई सदिशों के गुणों का उपयोग करते हुए: $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{i} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$.
इन मानों को रखने पर:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z}$