यदि $p(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax - 3a + 9$ को $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है और शेषफल $16$ प्राप्त होता है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए। इसके बाद,$p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$ को $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-1)$ होता है।
दिया गया है कि $p(-1) = 16$,इसलिए:
$2(-1)^3 - 3(-1)^2 + a(-1) - 3a + 9 = 16$
$-2 - 3 - a - 3a + 9 = 16$
$4 - 4a = 16$
$-4a = 12$
$a = -3$.
अब,$a = -3$ को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x - 3(-3) + 9 = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 18$.
$p(x)$ को $(x + 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(-2)$ की गणना करेंगे:
$p(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 3(-2) + 18$
$p(-2) = 2(-8) - 3(4) + 6 + 18$
$p(-2) = -16 - 12 + 6 + 18 = -4$.
अतः,$a = -3$ और शेषफल $-4$ है।