ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 1$ પર,જે બિંદુઓ આગળ સ્પર્શકો રેખા $8x = 9y$ ને સમાંતર હોય તે બિંદુઓ કયા છે?

જો $P(\theta)$ અને $Q\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બે બિંદુઓ હોય અને $PQ$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ હોય,તો $\frac{a+b}{\alpha+\beta}=$

જો $4x+y+p=0$ $(p>0)$ એ ઉપવલય $x^2+3y^2=3$ નો સ્પર્શક હોય અને $16x+qy+14=0$ $(q>0)$ એ ઉપવલય $x^2+8y^2=33$ નો અભિલંબ હોય,તો $p+q=$

$(2, 1)$ માંથી પસાર થતું પ્રકાશનું કિરણ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $P$ પર પરાવર્તિત થાય છે અને પછી $(5, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. જો આ પરાવર્તિત કિરણ એ $e = \frac{1}{3}$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતા ઉપવલયની નિયામિકા હોય અને આ નિયામિકાથી નજીકના નાભિનું અંતર $\frac{8}{\sqrt{53}}$ હોય,તો બીજી નિયામિકાનું સમીકરણ શું હોઈ શકે?

જો $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 4$ એ $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો $\alpha$ નું મૂલ્ય શોધો.

ઉપવલય $16x^{2} + 9y^{2} = 144$ ના નાભિના યામ શોધો.