वक्रों के परिवार x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} | vedclass

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Question

(B) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$$\Rightar

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$x^{4/3} - y^{4/3} = c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$$\Rightarrow x^{-1/3} + y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$.लंबकोणीय प्रक्षेप के लिए,$\frac{dy}{dx}$ को $-\frac{dx}{dy}$ से प्रतिस्थापित करने पर:$-\frac{dx}{dy} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$$\Rightarrow x^{1/3} dx = y^{1/3} dy$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int x^{1/3} dx = \int y^{1/3} dy$$\Rightarrow \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{y^{4/3}}{4/3} + C$$\Rightarrow x^{4/3} - y^{4/3} = C'$ (जहाँ $C' = \frac{4}{3}C$ एक अचर है)।अतः,सही विकल्प $B$ है।

वक्रों के परिवार $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ के लंबकोणीय प्रक्षेप (orthogonal trajectories) ज्ञात कीजिए,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।

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अवकल समीकरण $x dy + y dx = 0$ को संतुष्ट करने वाले और बिंदु $(2, 8)$ से गुजरने वाले शांकव का नाभिलंब (latus rectum) है:

मान लीजिए $\int_0^x \sqrt{1-\left(y^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x y(t) dt, 0 \leq x \leq 3, y \geq 0$,$y(0)=0$ है। तो $x=2$ पर,$y^{\prime \prime}+y+1$ का मान ज्ञात कीजिए:

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