સાબિત કરો કે $n, n+2, n+4$ માંથી માત્ર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે,જ્યાં $n$ એ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે.

કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને કોઈ પૂર્ણાંક $q \ge 0$ માટે $3q, 3q+1,$ અથવા $3q+2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n+2 = 3q+2$ (શેષ $2$) અને $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (શેષ $1$). આમ,માત્ર $n$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q+1$ હોય,તો $n+2 = (3q+1)+2 = 3q+3 = 3(q+1)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+1$ (શેષ $1$) અને $n+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ (શેષ $2$). આમ,માત્ર $n+2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q+2$ હોય,તો $n+4 = (3q+2)+4 = 3q+6 = 3(q+2)$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આ કિસ્સામાં,$n = 3q+2$ (શેષ $2$) અને $n+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (શેષ $1$). આમ,માત્ર $n+4$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
નિષ્કર્ષ: તમામ શક્ય કિસ્સાઓમાં,$n, n+2, n+4$ માંથી બરાબર એક જ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.