सिद्ध कीजिए कि $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$ होगा,यदि और केवल यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं,जहाँ $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ दिया गया है।

(A) दिया गया समीकरण: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$
अदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^{2}$,$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^{2}$,और अदिश गुणन क्रमविनिमेय है $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$:
$|\vec{a}|^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$
दोनों पक्षों से $|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$ घटाने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
चूंकि $\vec{a} \neq \vec{0}$ और $\vec{b} \neq \vec{0}$,दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य तभी होता है जब वे लंबवत हों। अतः,$\vec{a} \perp \vec{b}$।