सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम दो पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं (अर्थात,उनका केवल एक ही उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ है)।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2 = 5b^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$5$ से विभाज्य है,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$a$ भी $5$ से विभाज्य है।
मान लीजिए $a = 5k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
इस मान को $a^2 = 5b^2$ समीकरण में रखने पर,हमें $(5k)^2 = 5b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $25k^2 = 5b^2$ या $b^2 = 5k^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$5$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $5$ से विभाज्य है।
चूँकि $a$ और $b$ दोनों $5$ से विभाज्य हैं,उनका उभयनिष्ठ गुणनखंड $5$ है,जो हमारी प्रारंभिक धारणा कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं,का विरोधाभास करता है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{5}$ परिमेय है,गलत है,और हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है।