સાબિત કરો કે કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામેની બાજુઓની લંબાઈ છે.

(N/A) ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં બાજુઓ $a, b, c$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામે છે. શિરોબિંદુ $B$ માંથી બાજુ $AC$ પર લંબ $BD$ દોરો. ધારો કે $D$ એ $AC$ પરનું બિંદુ છે જેથી $BD \perp AC$ થાય.
કાટ્રિકોણ $ABD$ માં,આપણી પાસે છે:
$AD = c \cos A$
$BD = c \sin A$
$AC = b$ હોવાથી,લંબાઈ $CD = AC - AD = b - c \cos A$ થાય.
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $BDC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$BC^{2} = BD^{2} + CD^{2}$
$a^{2} = (c \sin A)^{2} + (b - c \cos A)^{2}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$a^{2} = c^{2} \sin^{2} A + b^{2} + c^{2} \cos^{2} A - 2bc \cos A$
નિત્યસમ $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^{2} = b^{2} + c^{2}(\sin^{2} A + \cos^{2} A) - 2bc \cos A$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cos A$
$\cos A$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$2bc \cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2}$
$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$