सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज $ABC$ में,$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः शीर्षों $A, B, C$ के सम्मुख भुजाओं की लम्बाइयाँ हैं।

(N/A) माना एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें भुजाएँ $a, b, c$ शीर्षों $A, B, C$ के सम्मुख हैं। शीर्ष $B$ से भुजा $AC$ पर एक लंब $BD$ खींचिए। माना $D$,$AC$ पर एक बिंदु है ताकि $BD \perp AC$ हो।
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,हमारे पास है:
$AD = c \cos A$
$BD = c \sin A$
चूँकि $AC = b$,इसलिए लंबाई $CD = AC - AD = b - c \cos A$ होगी।
अब,समकोण त्रिभुज $BDC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$BC^{2} = BD^{2} + CD^{2}$
$a^{2} = (c \sin A)^{2} + (b - c \cos A)^{2}$
पदों का विस्तार करने पर:
$a^{2} = c^{2} \sin^{2} A + b^{2} + c^{2} \cos^{2} A - 2bc \cos A$
सर्वसमिका $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$ का उपयोग करने पर:
$a^{2} = b^{2} + c^{2}(\sin^{2} A + \cos^{2} A) - 2bc \cos A$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cos A$
$\cos A$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2bc \cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2}$
$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$