सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल,त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

(N/A) माना $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A = 90^\circ$,$AC = y$ और $AB = x$ है।
तीन समबाहु त्रिभुज $\triangle AEC$,$\triangle AFB$ और $\triangle CBD$ क्रमशः भुजाओं $AC$,$AB$ और $BC$ पर खींचे गए हैं।
माना इन समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः $A_1$,$A_2$ और $A_3$ हैं।
हमें सिद्ध करना है कि $A_3 = A_1 + A_2$।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $BC^2 = AC^2 + AB^2 = y^2 + x^2$।
$s$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ होता है।
$A_1 = \text{Area}(\triangle AEC) = \frac{\sqrt{3}}{4} AC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2$ ... $(i)$
$A_2 = \text{Area}(\triangle AFB) = \frac{\sqrt{3}}{4} AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ ... $(ii)$
$A_3 = \text{Area}(\triangle CBD) = \frac{\sqrt{3}}{4} BC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (y^2 + x^2)$ ... $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ से:
$A_3 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = A_1 + A_2$।
अतः,कर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।