સાબિત કરો કે કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ પર દોરવામાં આવેલા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ,તે ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુઓ પર દોરવામાં આવેલા સમબાજુ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.

(N/A) ધારો કે $\triangle ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle A = 90^\circ$,$AC = y$ અને $AB = x$ છે.
ત્રણ સમબાજુ ત્રિકોણો $\triangle AEC$,$\triangle AFB$ અને $\triangle CBD$ અનુક્રમે બાજુઓ $AC$,$AB$ અને $BC$ પર દોરવામાં આવ્યા છે.
ધારો કે આ સમબાજુ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $A_1$,$A_2$ અને $A_3$ છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $A_3 = A_1 + A_2$.
$\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $BC^2 = AC^2 + AB^2 = y^2 + x^2$.
$s$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A_1 = \text{Area}(\triangle AEC) = \frac{\sqrt{3}}{4} AC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2$ ... $(i)$
$A_2 = \text{Area}(\triangle AFB) = \frac{\sqrt{3}}{4} AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ ... $(ii)$
$A_3 = \text{Area}(\triangle CBD) = \frac{\sqrt{3}}{4} BC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (y^2 + x^2)$ ... $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી:
$A_3 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = A_1 + A_2$.
આમ,કર્ણ પરના સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ બાકીની બે બાજુઓ પરના સમબાજુ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા બરાબર છે.