સાબિત કરો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો તેની બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.

(A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ધારો કે આપણે લંબ $DE$ ને લંબાવેલી બાજુ $AB$ પર અને $AF$ ને બાજુ $DC$ પર દોરીએ છીએ.
$\triangle DEA$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$DE^{2} + EA^{2} = DA^{2} \dots (i)$
$\triangle DEB$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$DE^{2} + EB^{2} = DB^{2}$
$DE^{2} + (EA + AB)^{2} = DB^{2}$
$(DE^{2} + EA^{2}) + AB^{2} + 2EA \times AB = DB^{2}$
$DA^{2} + AB^{2} + 2EA \times AB = DB^{2} \dots (ii)$
$\triangle AFC$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$AC^{2} = AF^{2} + FC^{2}$
$AC^{2} = AF^{2} + (DC - FD)^{2}$
$AC^{2} = AF^{2} + DC^{2} + FD^{2} - 2DC \times FD$
$AC^{2} = (AF^{2} + FD^{2}) + DC^{2} - 2DC \times FD$
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} - 2DC \times FD \dots (iii)$
કારણ કે $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$AB = CD \dots (iv)$ અને $BC = AD \dots (v)$.
$\triangle DEA$ અને $\triangle AFD$ માં:
$\angle DEA = \angle AFD = 90^{\circ}$
$\angle EAD = \angle ADF$ (કારણ કે $EA \parallel DF$)
$AD = AD$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$\triangle EAD \cong \triangle FDA$ ($AAS$ એકરૂપતાની શરત).
આનો અર્થ એ છે કે $EA = DF \dots (vi)$.
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$DB^{2} + AC^{2} = DA^{2} + AB^{2} + 2EA \times AB + AD^{2} + DC^{2} - 2DC \times FD$
$AB = DC$ અને $EA = DF$ નો ઉપયોગ કરતા:
$DB^{2} + AC^{2} = AD^{2} + AB^{2} + 2EA \times AB + AD^{2} + AB^{2} - 2AB \times EA$
$DB^{2} + AC^{2} = 2AD^{2} + 2AB^{2}$
કારણ કે $AD = BC$ અને $AB = CD$:
$AC^{2} + BD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2}$.