सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

(A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
माना हम बढ़ाई गई भुजा $AB$ पर लंब $DE$ और भुजा $DC$ पर $AF$ खींचते हैं।
$\triangle DEA$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$DE^{2} + EA^{2} = DA^{2} \dots (i)$
$\triangle DEB$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$DE^{2} + EB^{2} = DB^{2}$
$DE^{2} + (EA + AB)^{2} = DB^{2}$
$(DE^{2} + EA^{2}) + AB^{2} + 2EA \times AB = DB^{2}$
$DA^{2} + AB^{2} + 2EA \times AB = DB^{2} \dots (ii)$
$\triangle AFC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} = AF^{2} + FC^{2}$
$AC^{2} = AF^{2} + (DC - FD)^{2}$
$AC^{2} = AF^{2} + DC^{2} + FD^{2} - 2DC \times FD$
$AC^{2} = (AF^{2} + FD^{2}) + DC^{2} - 2DC \times FD$
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} - 2DC \times FD \dots (iii)$
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AB = CD \dots (iv)$ और $BC = AD \dots (v)$.
$\triangle DEA$ और $\triangle AFD$ में:
$\angle DEA = \angle AFD = 90^{\circ}$
$\angle EAD = \angle ADF$ (क्योंकि $EA \parallel DF$)
$AD = AD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
इसलिए,$\triangle EAD \cong \triangle FDA$ ($AAS$ सर्वांगसमता कसौटी)।
इसका अर्थ है $EA = DF \dots (vi)$।
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$DB^{2} + AC^{2} = DA^{2} + AB^{2} + 2EA \times AB + AD^{2} + DC^{2} - 2DC \times FD$
$AB = DC$ और $EA = DF$ का उपयोग करने पर:
$DB^{2} + AC^{2} = AD^{2} + AB^{2} + 2EA \times AB + AD^{2} + AB^{2} - 2AB \times EA$
$DB^{2} + AC^{2} = 2AD^{2} + 2AB^{2}$
चूंकि $AD = BC$ और $AB = CD$:
$AC^{2} + BD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + DA^{2}$.