f(x) = sin^{-1} (sqrt{x^2 + x + 1}) का परिसर | vedclass

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Question

(D) माना $g(x) = x^2 + x + 1$. चूंकि $x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4$,इसलिए $g(x)$ का न्यूनतम मान $x = -1/2$ पर $3/4$ है। $\sin^{-1}(\sqrt{g(x)})$ को

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$\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right]$

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(D) माना $g(x) = x^2 + x + 1$. चूंकि $x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4$,इसलिए $g(x)$ का न्यूनतम मान $x = -1/2$ पर $3/4$ है। $\sin^{-1}(\sqrt{g(x)})$ को परिभाषित होने के लिए,$0 \le \sqrt{g(x)} \le 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \le g(x) \le 1$। अतः,$3/4 \le x^2 + x + 1 \le 1$। वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{3}/2 \le \sqrt{x^2 + x + 1} \le 1$ प्राप्त होता है। $\sin^{-1}$ फलन लागू करने पर,$\sin^{-1}(\sqrt{3}/2) \le \sin^{-1}(\sqrt{x^2 + x + 1}) \le \sin^{-1}(1)$। परिणामस्वरूप,$\pi/3 \le f(x) \le \pi/2$। अतः,परिसर $\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right]$ है।

$f(x) = \sin^{-1} (\sqrt{x^2 + x + 1})$ का परिसर (range) है -

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