એક મોનિક દ્વિઘાત બહુપદી f(x) માટે અંતરાલ [alp | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $f(x) = (x - \alpha)(x - k)$ છે. $f(x)$ મોનિક હોવાથી, $x^2$ નો સહગુણક $1$ છે. અંતરાલ $[\alpha, \alpha + 3]$ પર રોલેનું પ્રમેય સૂચવે છે કે

Vedclass · Accepted Answer

-$2$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $f(x) = (x - \alpha)(x - k)$ છે. $f(x)$ મોનિક હોવાથી, $x^2$ નો સહગુણક $1$ છે. અંતરાલ $[\alpha, \alpha + 3]$ પર રોલેનું પ્રમેય સૂચવે છે કે $f(\alpha) = f(\alpha + 3) = 0$, તેથી $k = \alpha + 3$ મળે. આમ $f(x) = (x - \alpha)(x - \alpha - 3)$ છે.$f(x)$ નું શિરોબિંદુ $c$, $x = \frac{\alpha + (\alpha + 3)}{2} = \alpha + 1.5$ પર છે.$g(x) = f(x) + 2$ હોવાથી, $g'(x) = f'(x)$, તેથી $g(x)$ નું શિરોબિંદુ પણ $c = \alpha + 1.5$ છે.$g(x)$ માટે $[\beta, 3]$ પર રોલેનું પ્રમેય સૂચવે છે કે $g(\beta) = g(3) = 0$ છે. $g(x)$ એ પરવલય હોવાથી જેનું શિરોબિંદુ $x = c$ પર છે, તેના બીજ $c$ ની સાપેક્ષે સંમિત છે. તેથી $\frac{\beta + 3}{2} = c = \alpha + 1.5$, જેમાંથી $\beta + 3 = 2\alpha + 3$, એટલે કે $\beta = 2\alpha$ મળે છે.$g(3) = 0$ હોવાથી, $f(3) + 2 = 0$, તેથી $f(3) = -2$ મળે. $f(x)$ માં $x=3$ મૂકતા: $(3 - \alpha)(3 - \alpha - 3) = -2 \implies (3 - \alpha)(-\alpha) = -2 \implies \alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$ મળે.હવે, $(f \circ g)(\alpha) = f(g(\alpha))$ છે. $g(x) = f(x) + 2$ હોવાથી, $g(\alpha) = f(\alpha) + 2 = 0 + 2 = 2$ થાય.તેથી $(f \circ g)(\alpha) = f(2) = (2 - \alpha)(2 - \alpha - 3) = (2 - \alpha)(-1 - \alpha) = - (2 - \alpha)(1 + \alpha) = - (2 + 2\alpha - \alpha - \alpha^2) = - (2 + \alpha - \alpha^2)$ મળે.$\alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$ હોવાથી, $\alpha^2 = 3\alpha + 2$ થાય. આ કિંમત મૂકતા: $-(2 + \alpha - (3\alpha + 2)) = -(-2\alpha) = 2\alpha$ મળે.આપેલ શરતો મુજબ, $\alpha = 1$ દ્વિઘાત સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી $f(2) = (2-1)(2-1-3) = 1(-2) = -2$ થાય.

Similar Questions

$f(x)=\sqrt{x^2-x}, x \in[1,4]$ માટે લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = (x-4)(x-5)(x-6)(x-7)$,તો -

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f:[-1,1] \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module