સાબિત કરો કે $\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2}) = 2\sin^{-1}x$,જ્યાં $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(N/A) ધારો કે $x = \sin \theta$. તેથી $\theta = \sin^{-1} x$.
આપેલ છે કે $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{\pi}{2} \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2}$.
હવે,પદ $\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$ ધ્યાનમાં લો.
$x = \sin \theta$ મૂકતા,આપણને $\sin^{-1}(2\sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta})$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^{-1}(2\sin \theta \sqrt{\cos^2 \theta}) = \sin^{-1}(2\sin \theta |\cos \theta|)$ મળે છે.
કારણ કે $-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$,તેથી $\cos \theta \geq 0$,એટલે કે $|\cos \theta| = \cos \theta$.
આમ,પદ $\sin^{-1}(2\sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$ બને છે.
કારણ કે $2\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta$.
$\theta = \sin^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $2\sin^{-1} x$ મળે છે.