સાબિત કરો કે $\int_{0}^{a} f(x) g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$,જો $f(x) = f(a-x)$ અને $g(x) + g(a-x) = 4$ હોય.

(N/A) ધારો કે $I = \int_{0}^{a} f(x) g(x) \, dx$ ..... $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{a} f(a-x) g(a-x) \, dx$
આપેલ છે કે $f(x) = f(a-x)$,તેથી:
$I = \int_{0}^{a} f(x) g(a-x) \, dx$ ..... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{a} \{f(x) g(x) + f(x) g(a-x)\} \, dx$
$2I = \int_{0}^{a} f(x) \{g(x) + g(a-x)\} \, dx$
આપેલ છે કે $g(x) + g(a-x) = 4$,તેથી:
$2I = \int_{0}^{a} f(x) \times 4 \, dx$
$2I = 4 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$
$2$ વડે ભાગતા:
$I = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$