સાબિત કરો કે બાદબાકી અને ભાગાકાર એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર દ્વિક્રિયાઓ (binary operations) નથી.

ગણ $S$ પરની દ્વિક્રિયા $*$ એ એક વિધેય $*: S \times S \rightarrow S$ છે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક જોડી $(a, b) \in S \times S$ માટે,પરિણામ $a * b$ પણ $S$ માં હોવું જોઈએ.
$1$. $N$ પર બાદબાકી $(-)$ માટે:
ધારો કે ઘટકો $a = 3$ અને $b = 5$ છે,જ્યાં $3, 5 \in N$.
ક્રિયા $a - b$ કરતા $3 - 5 = -2$ મળે છે.
અહીં $-2 \notin N$ હોવાથી,બાદબાકી એ $N$ પર દ્વિક્રિયા નથી.
$2$. $N$ પર ભાગાકાર $(\div)$ માટે:
ધારો કે ઘટકો $a = 3$ અને $b = 5$ છે,જ્યાં $3, 5 \in N$.
ક્રિયા $a \div b$ કરતા $3 \div 5 = \frac{3}{5}$ મળે છે.
અહીં $\frac{3}{5} \notin N$ હોવાથી,ભાગાકાર એ $N$ પર દ્વિક્રિયા નથી.