નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?

ધારો કે $*^{\prime}$ એ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પરની દ્રીકક્રિયા છે જે $a *^{\prime} b = a$ અને $b$ નો ગુ.સા.અ. ($H$.$C$.$F$.) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું ક્રિયા $*^{\prime}$ એ ઉપરના સ્વાધ્યાય $4$ માં વ્યાખ્યાયિત ક્રિયા $*$ જેવી જ છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

એક અરિક્ત ગણ $X$ આપેલ છે,દ્વિ-ક્રિયા $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ ધ્યાનમાં લો જે $A, B \in P(X)$ માટે $A \,^*\, B = A \cap B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P(X)$ એ $X$ નો ઘાતગણ છે. સાબિત કરો કે $X$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને $X$ એ આ ક્રિયાના સંદર્ભમાં $P(X)$ માં એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.

જો ક્રિયા $ \oplus $ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $ a $ અને $ b $ માટે $ a \oplus b = a^{2} + b^{2} $ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો $ (2 \oplus 3) \oplus 4 = $

નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ-ક્રિયા $^*$ માટે,$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો. $Q$ પર,$a ^* b = \frac{ab}{2}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.

ગણ $\{a, b\}$ પર દ્વિ-ક્રિયાઓની સંખ્યા કેટલી છે?